函数的奇偶性 定义数学定义

定义是数学中精确描述概念、术语含义的陈述。理解定义是学习数学的基础，每个数学概念都有其严格的定义。

函数的奇偶性前提：函数的定义域关于原点对称。

偶函数（Even Function）：如果 f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)f(−x)=f(x)，则 f(x)f(x)f(x) 为偶函数，其图形关于 y 轴对称。奇函数（Odd Function）：如果 f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)f(−x)=−f(x)，则 f(x)f(x)f(x) 为奇函数，其图形关于原点对称。 几何特征偶函数的图像关于 y 轴对称奇函数的图像关于原点对称 性质偶函数 × 偶函数 = 偶函数奇函数 × 奇函数 = 偶函数偶函数 × 奇函数 = 奇函数偶函数 + 偶函数 = 偶函数奇函数 + 奇函数 = 奇函数偶函数 + 奇函数 = 一般函数（非奇非偶） 常见例子偶函数：x2x^2x2、x4x^4x4、cos⁡x\cos xcosx、∣x∣|x|∣x∣奇函数：xxx、x3x^3x3、sin⁡x\sin xsinx、tan⁡x\tan xtanx 判断方法定义法：直接利用奇偶性的定义进行判断图像法：观察函数图像是否具有对称性代数法：通过计算 f(−x)f(-x)f(−x) 并与 f(x)f(x)f(x) 比较 重要性质奇函数在原点处的函数值为零（如果原点在定义域内）偶函数的导数是奇函数奇函数的导数是偶函数 练习题练习 1判断函数 f(x)=x3+xf(x) = x^3 + xf(x)=x3+x 的奇偶性。

参考答案 (3 个标签)奇偶性 奇函数 函数判定解题思路： 需要计算 f(−x)f(-x)f(−x) 并与 f(x)f(x)f(x) 比较。

详细步骤：

计算 f(−x)f(-x)f(−x)： f(−x)=(−x)3+(−x)=−x3−x=−(x3+x)=−f(x)f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -(x^3 + x) = -f(x)f(−x)=(−x)3+(−x)=−x3−x=−(x3+x)=−f(x)比较： 因为 f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)f(−x)=−f(x)，所以该函数是奇函数。答案：该函数是奇函数。

练习 2判断函数 f(x)=x2+2x+1f(x) = x^2 + 2x + 1f(x)=x2+2x+1 的奇偶性。

参考答案 (3 个标签)奇偶性 偶函数 函数判定解题思路： 需要计算 f(−x)f(-x)f(−x) 并与 f(x)f(x)f(x) 比较。

详细步骤：

计算 f(−x)f(-x)f(−x)： f(−x)=(−x)2+2(−x)+1=x2−2x+1f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) + 1 = x^2 - 2x + 1f(−x)=(−x)2+2(−x)+1=x2−2x+1比较： f(−x)≠f(x)f(-x) \neq f(x)f(−x)=f(x) 且 f(−x)≠−f(x)f(-x) \neq -f(x)f(−x)=−f(x)因此该函数既不是奇函数也不是偶函数。答案：该函数既不是奇函数也不是偶函数。

总结本文出现的符号符号类型读音/说明在本文中的含义f(x)f(x)f(x)数学符号f of x函数记号，表示以 xxx 为自变量的函数−x-x−x数学符号negative x表示自变量的相反数f(−x)f(-x)f(−x)数学符号f of negative x函数在 −x-x−x 处的函数值中英对照中文术语英文术语音标说明奇偶性parity/ˈpærɪti/函数关于原点或 y 轴对称的性质奇函数odd function/ɒd ˈfʌŋkʃən/满足 f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)f(−x)=−f(x) 的函数，图像关于原点对称偶函数even function/ˈiːvən ˈfʌŋkʃən/满足 f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)f(−x)=f(x) 的函数，图像关于 y 轴对称对称性symmetry/ˈsɪmɪtri/函数图像的对称性质原点对称origin symmetry/ˈɒrɪdʒɪn ˈsɪmɪtri/图像关于原点对称y 轴对称y-axis symmetry/waɪ ˈæksɪs ˈsɪmɪtri/图像关于 y 轴对称定义域domain/dəʊˈmeɪn/自变量的取值范围 上一章节 函数的周期性下一章节 函数的极值 课程路线图1高等数学之函数探秘

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