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单位元

要说明逆元，就要先说明单位元。单位元是集合中的一种特别的元，当它与其他元素结合时不会改变其他元素。a*e = a（其中的“*”是通配符，不单指乘法，可以代表+ - * /等其他运算符号.)，那么我们说e就是单位元。 借助定义，我们就可以算出每个运算的单位元是什么。

加法的单位元

a+e=a⇒e=0a+e = a \Rightarrow e = 0a+e=a⇒e=0,所以加法的单位元为0；

减法的单位元

a−e=a⇒e=0a-e=a\Rightarrow e=0a−e=a⇒e=0,所以减法的单位元也为0；

乘法的单位元

a∗e=a⇒e=1a*e=a\Rightarrow e = 1a∗e=a⇒e=1,所以乘法的单位元为1；

除法的单位元

a/e=a⇒e=1a/e=a\Rightarrow e=1a/e=a⇒e=1,所以除法的单位元为1；

逆元

定义：在一个集合中，对于某种运算*；如果任意两个元素的运算结果等于单位元，则称这两个元素互为逆元。

加法的逆元

a+e=0⇒e=0a+e = 0 \Rightarrow e = 0a+e=0⇒e=0,所以加法的逆元为-a；

减法的逆元

a−e=0⇒e=0a-e=0\Rightarrow e=0a−e=0⇒e=0,所以减法的逆元为a；

乘法的逆元

a∗e=1⇒e=1a*e=1\Rightarrow e = 1a∗e=1⇒e=1,所以乘法的逆元为1a\frac{1}{a}a1​；

除法的逆元

a/e=1⇒e=1a/e=1\Rightarrow e=1a/e=1⇒e=1,所以除法的逆元为a；

其实加法逆元就是相反数，乘法逆元就是倒数。

以上的四种运算法则很好理解，但是实际题目中并不多见，而最多见的当是模乘了。

（这里先说明取模和取余的区别）

假设a与b互质且a>b. 则有a=kb+ra = kb + ra=kb+r； 这里r为余数。 所以可以知道r=a−abbr = a - \frac{a}{b}br=a−ba​b 当我们要取模时，ab\frac{a}{b}ba​向负无穷大取整。 当我们要取余时，ab\frac{a}{b}ba​向0取整。 所以取模的（正负）符号和a（被除数）有关，而余数恒大于0；

模乘的单位元与逆元

我们先来证明ab(mod n) = a(mod n) * b(mod n); a=k1n+ra,b=k2n+rba = k_1n+r_a,b = k_2n+r_ba=k1​n+ra​,b=k2​n+rb​ ⇒ab=k1k2n2+k1rbn+k2ran+rarb\Rightarrow ab=k_1k_2n^2+k_1r_bn+k_2r_an+r_ar_b⇒ab=k1​k2​n2+k1​rb​n+k2​ra​n+r